（一）基本原理

陈祖煜

1．前言

下围棋的人大多知道围棋有数子和点目两种计算胜负的方法，同时也知道子和目之间存在着一倍的关系。黑方贴目数也是贴子数的一倍。但是，为什么存在这样的关系呢?这个问题并不是所有的人都能说清楚的。围棋爱好者大多知道，以数子为基础的中国规则和以点目为基础的日本规则存在细微的差别，以至每场国际比赛开始前，必须事先明确采用何国规则。中国规则规定的贴子数的尾数常是3/4，而回避1/4，以避免在黑收后时产生与日本规则对胜负判断相反的局面。相信大多数人不一定能将个中原因说出个所以然来。

于是，就有了数子和数目两种方式优劣的争论。笔者论为，数子和数目是围棋规则中两个不可分割的部分。以计算地盘多少来确定胜负的数子法，历来是围棋规则中最基本、最朴素、也是最没有争议的一部分。但是，鉴于棋盘上有361个子，在对局过程中，谁也无法进行子的统计。依靠接近局终时剩下的空（即目）来判断形势，便成了棋手的唯一的选择。任何一个竞技比赛，参赛者在对抗过程中都必须不断地判断形势，调整其战略方针，以取得最后的胜利。取得优势时，可采用稳固防守的策略；而面临绝境时，不妨拼死一博。这些都是天经地义的作法。在围棋比赛中要作到这一点，就一定要通过数目来实现。说到这里，不妨回忆中国棋手第一次战胜日本九段棋手的一段文字：

“……刀光剑影，人仰马翻，整整10小时候过去了，陈祖德在棋盘上落下了最后一子，吐出一口气，往椅背上一靠，犹如叹息一般地轻微自语：‘一目’。当裁判起身要数子时，杉木雅男说，‘请等一下，让我想一想。’他又凝神静思一会，吐出了三个字‘我输了’”[1]。

设想，如果没有计目法，围棋比赛能如此精彩，如此富有魅力吗?

围棋，作为一个变化万千，哲理深睿的人类智力竞技项目，固然有其诸多的迷人之处，其规则之简单、自然和严密当属其中之一。为此，笔者认为有必要用数学方式将数子和点目两种方法结合成一个严密的体系，使计目法和数子法一样，可以准确地、毫无争议地计算出棋局的结果。

读者会发现，以下的数学推导本身是严格的。但是，就象所有的数学领域一样，这些公式是在一些“公理”的基础上建立起来的。这些公理就是指导行棋的一些基本规则。我们可以看到，之所以日本规则中出现的种种欠强人意的规定，以及在个别情况下产生的与数子法的差异，是一些基本规定欠妥所致。为此，在提出了计目法的数学推导后，本文将对围棋的基本规则作一回顾。这些基本规则，从某种意义来说，并不是人造的，和数学公理一样，它反映的是自然界本身应有“约定”。为此，在讨论每一条规则是，均将附上一段哲学思考。

作者将本文介绍的在一些基本规则支持下、通过数学推导获得的计算胜负的方法称为“新计目法”。在本文的第二部分，我们将剖析陈祖源“围棋规则新论”一书中讨论的日本规则缺陷的若干案例，说明“新计目法”的适用性。

2. 计子和计目的胜负计算公式

2.1 特殊情况

为了便于理解，首先来考虑一个并不可能在实战中发生的假想的特殊情况，即下棋过程中双方无虚着，双方均未吃对方子，无双活，在棋局终止时，棋盘上的361格的组成如下：

(1)

S  = 手数，指黑收后前双方各下的手数

H  = 1 （黑收后）

= 0 （白收后）

m_b = 棋盘上黑地中的空，称黑目数

m_w = 棋盘上白地中的空，称白目数

约定分别用下标“b”和“w”表示黑方和白方。

按中国规则。黑胜子数V可按下式计算

  (2)

其中Z_b为黑占的实地，即黑的子数，T为贴子数，Z_b应为

  (3)

将(1)和(3)代入(2)可得

  (4)

如果定义

  (5)

则为

  (6)

式(6)意义是，在棋局终止时，棋盘中黑的目数减去白的目数再减去黑贴子数的一半就是黑赢白的目数。如果黑收后，还要加上半目。你看，通过这样简单的数学推导，我们就弄清楚了以下几个问题。

为什么在棋局结束时，我们可以通过计目的方法用式(6)算出黑胜或负白多少目，尽管此时还不能精确地算出361个格中黑、白方各占了多少子。

为什么目和子是1/2的关系，日本规则规定的黑贴目数除2即为中国规则的贴子数。

顺便提一下，日本规则规定单官不计目，故h恒为零，故按日本规则，有

  (7)

2.2 一般情况

对于一般情况，我们考虑以下因素，但仍假定在对局中无虚着。

D_b = 黑在白空中的死子

D_w = 白在黑空中的死子

K_b = 下棋过程中被提走的白棋

K_w = 下棋过程中被提走的黑棋

C = 棋盘上公活留下的空格。

此时棋盘上的361格的组成如下：

  (8)

此时再来计算黑占的实地，即黑的子数，式(3)可改写为

  (9)

定义”广义目”为已方的目数减去被对方提走子再减去双份的残留在对方空中的死子,

    (10)

  (11)

根据式(8)计算S，将其代入(9)，仍按式(2)计算黑胜子数V，可得到以下按中国规则黑胜白的子数V的广义表达式，

  (12)

或者

  (13)

注意，在上面的推导中，公活的目C在最终的计算公式(12)或(13)中被消去了。也就是说，公活中的目不属于任何一方。

同样，因日本规则规定单官不计目，故h为零，按日本规则，有

  (14)

v¢ 和V¢ 分别为按日本规则计算的黑胜白的目和子数。式(6)和式(13)在形式上是相同的。同样,式(14)和式(7)在形式上是相同的。这样，经改造的日本规则给出的黑胜白的目数是黑白的广义目数差减去黑应贴白的目数。

2.3 有虚着的更一般情况

在下棋过程中，某一方放弃一着棋，是规则允许的。这一着棋称为虚着。此时，式(8)可改写为

  (15)

其中X_b和X_w分别为黑、白双方的虚着数。此时再来计算黑占的实地，即黑的子数，式(9)可改写为

  (16)

分别比较式(8)和式(15); (9)和式(16)，可以发现，如果将”广义目” 进一步定义为,

  (17)

  (18)

则第2.2节的推导可以不作任何改变用到有虚着的情况。即式(13)和式(14)依然成立。

本节的推导说明，某方下一虚着，则应视为损一目。这正是池田敏雄在试图弥补日本规则缺陷提出的一个重要修正。

2.4 小结

通过对“广义目”的定义，我们获得了一个与数子规则完全等同的“新计目法”计算胜负的公式(13) 。 “新计目法”的文字表达内容为以下3条：

(1) 定义广义目为已方的空减去对局过程中被对方提走的子数和双倍的在对方空中的死子。

(2) 如有虚着，上述广义目还要减去虚着数。

(3) 要求双方手相等。即局终如果黑收后，则白以一虚着结束。

(4) 黑胜白的目数为黑白广义目之差减去贴目数。公活形成的目不计。

注意，第(2)、(3)条的规定意味如黑收后，则再加上一目。这和是中国规则是一致的。

数学推理的严密性决定了式(9)和式(13)的完全等效性。也就是说，数学推理的严密性将保证数目的方法和数子的方法将给出对胜负完全相同的判断，不会有任何例外。

3. “新计目法”的规则

3.1 基本规则

规则1 基本规定。 黑白双方轮流着子。黑先白后，每次只准着一枚子，任何一方均可在不违背以下规则2和规则4的任何地方着子，也可放弃本次着子的机会（即允许虚着）。要求双方手数相同，在局终黑收后时白需以一虚着应对。

评论 本规定的一个要点是“双方手数相同”。这一规定意味着如果某一方下一着棋，对方必须也跟着下一着棋，如果放弃，则按虚着论处，在计目时应按式(17)或式(18)扣除一目。在下面的论述中我们将发现，这一规定是使围棋规则形成严格的理论体系所必须的。由此引出以下的推理 1和推理 2。规定虚着棋要损一目，使取证死活变得可能，也是双方协议结束比赛的无声语言，将在规则5中详细讨论。上述规定克服了日本规则的根本缺陷。很多学者已经指出，日本在唐朝引入中国围棋后，忘了引进中国围棋规则中手数相同、虚着要贴目这些规定，由此导致了计目制中的种种问题。计目制中的大多数问题（如硬性规定“盘角曲四”为死棋）均可以得到解决。

哲学思考 手数相同是公平原则的基本体现。本规定拒绝强制棋手在某指定位置着子（诸如一手劫必须补等）。同时允许虚着，是使棋局终止所必须的。实现了公平和自由这两条竞技体育的基本标志。规定手数相同导致黑棋收后的权利，这是使围棋规则成为一个严密的体系所必须的，我们将在下面引入推理2和推理4时发现这一准则的作用。这一实质性的不公平和黑棋具有先行之利一起通过贴目解决。

规则2禁全局同形的规定。任何一方着子后不得使对方面临曾经面临过的局面。

评论 这是有关打劫的规定。有了这一条规定，即可防止对局过程中出现无理的循环局面。最近，陈祖源写了一本新书“循环棋”，介绍了许多“三劫循环”，“四劫循环”的名局。这些棋大部分被判为“无胜负”。实际上，单劫循环、多劫循环都是劫。只要面临产生和以往相同的棋形的局而，就要被禁止。就要强迫该棋手去找劫。

哲学思考 进化是自然界发展的基本规律，自有人类社会以来，没有两个人长得一模一样的。拒绝“克隆”，是围棋规则应有的选择。围棋是关于死活的游戏，和自然界的“优胜劣汰”一样，因此，也不承认和棋。

规则3 死棋、活棋和空的定义。某一方投入的一枚子导致对方连成一片的子“无气”，则为死棋，这一片棋应立即从棋盘中提走。对方无法或不愿意提走的连成一片的子称为活棋。“空”系指棋终后活棋围成的未着子空格。活棋中的空格称为目。黑白相邻活棋之间谁也不愿着子的空地称为双活的目。

死棋的认定方法是：(1) 已方确认；(2) 被对方通过实战提走。

评论 需要注意的是，我们将对方不愿意提走的子也定义为活棋。因此，活棋未必一定要有两个眼。对于公活的棋，一个眼也能构成一片活棋。就是一个眼也没有，只要对方不愿提走，也是活棋。

哲学思考 对死棋和活棋的规定，也应遵循自然的原则，拒绝任何人为的因素。因此，“提证死活”是围棋对死活的基本态度和唯一选择。“新计目法”也没有“非独立的活棋”这样的令人费解的规定。

规则4 禁入的规定。任何一方不得把一枚子下到一个可以立即被对方提走的位置，除非该子投入后可以立即提走对方的子。

评论 本规定实际上是规则3的补充。否则一方可以将对方具有两个禁入点的一片棋变成死棋。

哲学思考 禁止自杀，这又是自然界的基本规律。也是围棋的基本规则。有些规则研究者建议不禁自投罗网的子，也应是说允许“集体自杀”。笔者总认为这是对棋理和行棋节奏的一种损害。

规则5 局终的规定。双方都下虚着，应视棋终；但在结束前，应确认棋盘上的棋子的死活。如有异议，应继续对局，通过提证决定有争议的棋子的死活问题。

评论 一局棋出现争议，往往发生在局终时，为此，我们需要为局终的定义专门作出这两条规定。

通常，在棋终时，双方是不会对棋盘上的棋子的死活性质产生异议的。规则中规定一旦有异议，通过“提证”解决，为彻底解除争议创造条件。设想，某局双方均只在棋盘上放一枚子，然后各下虚着局终，如何判定胜负？有了棋终前双方确认棋盘上的子的死活这一条件，此问题可以迎刃而解。只要双方对棋盘上的子的死活认定无异议，则公活的地也是清楚的。裁判照样可按式(12)或式(13)来计算胜负。如有争议，双方就要继续对局。当然，这一例子在实战中是不可能发生的。但是，作为一个体系严密的围棋规则，应能覆盖任何可能发生的情况，杜绝任何赖皮和荒唐的事情的发生。

哲学思考 本规则对棋终的规定再一次体现了竞技比赛公平和自由的原则。从某种意义上讲，围棋是一个不需要裁判介入的智力游戏。在国际比赛中，围棋是少有的一种并不在乎执法的裁判为何国的竞技项目。

规则6确定胜负的方法 黑胜白的地按子数计由式(12)确定。V为正值判黑胜，反之为负。也可按式(13)通过计算黑胜白的目数来确定。此两式中各变量的换算关系按式(5)确定。贴子数T或贴目数t由规则制订者规定。为了便于棋手在对局过程中判断形势，要求在对局过程中将提走的子均放在明显的位置上供棋手根据式(13)计算v的数值。

评论 至此，我们为计算胜负的数子和计目建立了一个完全等同的平台，两种方法在任何情况下都不会出现不同的胜负计算结果。

哲学思考 以所占地盘的多少来确定胜负，反映了围棋着眼于全局不以一时一地得失评英雄的宏旨博志。棋手可以在行棋中追求整体的和谐与平衡。在前言中，我们已经谈到计目又是围棋比赛过程中必须不断使用的一种判断形势的方法。没有这一方法，就象永远不翻记分牌的篮球比赛，整场比赛将变得索然无趣。

3.3 推理

围棋比赛中一些常识性的准则，诸如有两个眼为活棋，目和子的关系，可以在上述规则下获得，以下是几个主要的推理。

推理1 当某一片棋存在两个或更多的禁入点时则为活棋

证明 鉴于每位棋手每次只能下一着棋，因此只要存在两个禁入点，这片棋就一定是活棋。

推理2 在双方的单官均已收完后，任何一方在自己的空中放一枚子，并不影响按式(13)计算的胜负值

证明在自己的空中放一枚子，等于损一目，这是使用日本规则的大忌。而在计子的中国规则中，则并不影响所占之地多少。“新计目法”同样不在乎在自己的空中放一枚子。设想如果黑收后，那么如果白方在自己的空中放了一枚子，则式(18)中M_w减小了1。但此时，变成了白收后，式(13)中的h也由1变为0，故按式(13)计算的V不变。另如果白收后，黑在自己的空中放入一枚子，则h由0变为1。M_b则减少1。V仍不变。

如果在放入一枚子时，同时还提走了m枚对方在已方的死子。那么此m枚棋子本对已方有2m目广义目的价值，现变为m目空格，同时又增加m个对方被提走子的记录。故仍不影响按式(13)的计算结果。

推理3 公活的目既不属黑也不属白

证明在2.2节的推导中可以发现，在建立式(15)和式(16)时，我们确实考虑了有公活的情况，但是在推导过程中C被消去，说明公活的空格在计算胜负时可不计。“围棋规则新论”中列举的“公活无目”不尽合理的案例，实际上都不出在公活无目方面，我们将在本文第二部分案例中讨论。

推理4 如果贴子的数T带有一个1/4或3/4的尾数。则不会出现和局；如果贴目的数T带有一个3/4的尾数。则可在绝大多数的情况下可进一步防止由于黑收后产生相反的胜负判断的局面。也就是说，黑收后表面上似乎点便宜了，实际上并不会因此改变胜负的形势。只是多赢点少赢点的事。

证明 分析式(4)，不难发现, 如贴目数T带有一个1/4或3/4的尾数，则不可能获得为零的V 值。我们知道，日本规则中单官是不计目的，即按式(14)计算。和中国规则按式(13)计算是不可能算得相同的结果的。但是按现行贴子3又3/4规则，在大多数情况下，并不会出现胜负判断相反的局面。也就是说，中国规则虽然给了收后的黑方多占一子的利益，但是在按式(13)计算的V值和日本规则按式(14)的V¢值只会有数量上的差别，并不会发生V和V¢符号相反的情况。现在来研究目前中国规则贴目数T=3.75和日本规则贴目数7.5的情况，表1分别新计目法和日本规则在不同目差时相应的胜负计算的情况。

表1 新计目法和日本规则在不同目差相应胜负计算的情况, 贴目t=7.5, 贴子T=3.75

方法		公式	目差(Mb-Mw)
			6	7	8
日本规则	v’	(14)	-1.5	-0.5	0.5
	V’	(5)	-0.75	-0.25	0.25
新计目法	v	(13)	-0.5	0.5	1.5
	V	(5)	-0.25	0.25	0.75
	Z	(2)	184	184.5	185

分析黑白的目差 (M_b-M_w)分别为6、7、8三种情况，如表1示。可见，仅在目差为7时，v和v’（ 或V和V’）出现了相反的符号。也就是说，在这种情况下，按新计目法（或中国规则）应判白负，按日本规则判黑负。如果此时以式(5)v=2V的关系代入式(2)，则可知相应黑得184.5子，这一情况相当于存在一片单数的公活棋，再与黑收后并且目差为7相遇，出现的概率极少。陈祖源还分析了黑贴目2.75时的情况，结论也是相似的，即仅在黑得183.5子这一罕见的情况下会出现中日规则相反的对胜负结果的判定。

3.3 新计目法和日本规则的差

本文提出了一个和建立在计子基础上的中国规则完全等同的计目法。在一些基本规定方面，与现行的日本规则是有细小的差别的，这些差别正是反映了中国规则和日本规则不同的地方。表2总结了新计目法和日本规则的差别。

表2 新计目法和日本规则的差别

	新计目法	日本规则	相关案例
手数	明确规定双方手数相同，虚着按损一目处理。	对手数和虚着无明确要求
收后	要求收单管，保留黑收后权利	不要求收单管，因而不计黑收后的那一子
死活	通过提证来决定死活	因提证有时要损目，故对一些特殊情况的死活作专门规定。 如硬性规定“盘角曲四”为死棋
着子	除关于“禁入点”和“禁全局同形”的规定外，不限止棋手在任何地方投子，同时允许虚方	在“紧气劫”、“粘最后一劫”等情况下强迫棋手必须下棋，甚至必须在某处投子。
对目的定义	引入广义目的概念，将目的定义与残存于对方活棋中的死子和对局过程中被对方提走的子以及虚着考虑进去。	简单定义目为活棋中的空

3. 结语

围棋规则是“上帝”创造的。我的意思是，围棋比赛只需按本文第3节中的6项规则进行，再没有需要人为地做任何的规定了。而这6项规则是公理。因为不需要人为地做规定，围棋也就成为了不需要回避裁判国籍的世界上仅有的最公平的竞赛。国际象棋世界冠军依曼纽尔·拉斯克说; ”如果哪一天我们发明有一种天外文明和我们玩同一种游戏，那就是围棋，绝对没有疑问” [2]。 一句话，围棋规则是唯一的，并不存在中国规则、日本规则。将日本以计目为基础的规则中的不妥之处按“新计目法”修正后，就和中国以计子为基础的方法完全等同。

最后的一个问题是黑方贴目的规定，难道这不是人为的规定吗？我的回答是：“上帝”发明围棋时，是让双方不贴目下两盘棋，各执一盘黑、一盘白。只有连续把两盘棋都赢下来才结束比赛。否则就继续比赛，直至分出胜负。围棋之复杂可以保证即使是顶尖棋手的对局也不可能在黑棋不贴目的情况下盘盘都靠多一、二个子胜对方。结束战斗不会比打平时采用类似交换规则的乒乓球、排球比赛要难。至于这导致了旷日持久的比赛，因而改为贴目，那就不是“上帝”的事了。同样，因为循环劫要判断自何处开始“全局同形”太麻烦，不按规则打劫。由裁判来判“无胜负”（如陈祖源所解释的），那也不是“上帝”的事了。

跋：

我的弟弟陈祖源是围棋规则专家，著有《围棋规则新论》，《围棋规则演变史》，《循环劫》等书，是第一届世界智运会围棋规则的执笔人。有一次偶然的机会，我们俩和我的清华校友张喜明一起吃饭。张曾获清华学生围棋冠军。我问张先生，你认为中国规则和日本规则，哪个更好。他答道，日本规则好。“为什么？”“因为执黑方收后，多下了一步棋，不公平。”于是我弟弟开始向他解释，在目前的贴目体系下，中国规则虽然给了收后的黑方多占一子的利益，但是只会产生双方胜负子数数量上的差别，并不会导致胜负判断相反的局面。结果，我们俩谁也没听懂。我于是萌发了要用数学方法解释围棋规则的念头。这篇文章也就是在这个背景下产生的。本文中推理4就是对张先生的疑问的数学解释。但是，文章的主题则已远远超越了该问题，所探讨的是围棋规则的自然属性和唯一性。本来拟分两部分来写，本文是第一部分，第二部分剖析《围棋规则新论》一书中列举的各种案例，证明按“新计目法”，都不会有需要裁判人为地判决胜负的情况，也不会出现计子和计目结果不同的局面。但是，我没有画棋谱的软件，再说时间、精力也不足。只好放在那里。一放六、七年了。以后也不有可能继续写了，就放在网上吧。

此文写后曾寄祖源，他回答道，完全同意我的观点。但因身居两地，也没有继续讨论过。我的围棋水平极低，只有奕城10级，对围棋规则的研究，恐怕也连“票友”身份都不够。不知天高地厚，写了这点文字，供爱好者一笑。

陈祖煜， 2015.5

[1] 辛维光主编，围棋国棋.贵州人民出版社，2001. p. 161.

[2] 陈祖源，循环棋. 2014. 上海文化出版社